Me parece a mi que en las privadas tienes que pagar la matrícula creo recordar que con reducción . La exención total de pagar con matrícula de honor en bachillerato es solo en las públicas (creo yo). A lo mejor hay alguna que aplica una exención total.
Lo que suelen tener las privadas son becas para alumnos con notas altas, que si sigues manteniéndolas pueden durar toda la carrera.
Cada universidad privada tiene unas normas. Una de mis hermanas (no hizo medicina) tenía matrícula de honor en bachillerato y en ICADE pagó la matrícula. Después en las matrículas de honor que ha sacado en la carrera me está contando que le descontaban solo 50 € por cada tres créditos al matricularse el siguiente curso, en cambio una amiga nuestra está en la Paquito y ahí si le sale gratis una asignatura al año siguiente. No se si será lo mismo.
En lo que firmas en las privadas te suele venir como actúa cada una, pero ya te digo se suele tener que pagar y después no te devuelven el dinero, es un contrato que firmas.
En resumen que depende de la universidad.
Suerte.