En resumidas cuentas, las condiciones que te exigen van a depender de cómo solicites plaza en la nueva universidad:
1. Si solicitas plaza por preinscripción, no importa el tipo de Universidad que cursaste (sea pública o privada), aquí es como si fueras un estudiante de nuevo ingreso normal. Cuando consigas plaza, te matriculas al primer curso completo con asignaturas con la opción "pendiente de reconocimiento" en la automatrícula. Según las asignaturas que te convaliden, puedes solicitar una ampliación de matrícula para cursar asignaturas de cursos superiores.
2. Si solicitas plaza por la vía de "cambio de estudios de grado" te tienen que reconocer un mínimo de 30 créditos ECTs o aprobado el primer curso completo en planes antiguos. A parte de este requisito, que es el único que figura como imprescindible, hay otros que dependen de la Universidad. Algunas, por ejemplo, piden justificante de traslado laboral o cambio de domicilio. Repito, no todas las universidades hacen lo mismo. El problema de esta vía es que hay pocas plazas, ergo necesitas tener buen expediente y nota de selectividad (y otros requisitos como ya mencioné).
Hasta donde yo sé, por lo que me han contado amigos y conocidos, las Universidades privadas suelen poner obstáculos para dificultar el cambio a la Universidad pública, lo cuál es totalmente lógico por la gran diferencia de precios. Con esto me refiero únicamente en el tema de las adaptaciones/convalidaciones de asignaturas, puede que hayan asignaturas que no te reconozcan, aunque claro, al haberla cursado ya, en teoría no deberías tener problemas para cursarla de nuevo, aunque el problema es que supone un gasto económico mayor.
Suerte